Динамика. Законы Ньютона

Динамикой называют раздел механики, в котором изучают различные виды механических движений с учетом взаимодействия тел между собой. Основы динамики составляют три закона Ньютона, 

являющиеся результатом обобщения наблюдений и опытов в области механических явлений, которые были известны еще до Ньютона и осуществлены самим Ньютоном.

Законы динамики Ньютона (иначе называемой классической динамикой) имеют ограниченную область применимости. Они справедливы для макроскопических тел, движущихся со скоростями, много меньшими, чем скорость света в вакууме.

Явление инерции

Проведем наблюдения за поведением различных тел относительно Земли, выбрав неподвижную систему отсчета, связанную с поверхностью Земли. Мы обнаружим, что скорость любого тела изменяется только под действием других тел. Например, пусть тело стоит на неподвижной тележке. Толкнем тележку - и тело опрокинется против движения. Если же, наоборот, резко остановить двигающуюся тележку с телом, оно опрокинется по направлению движения.
Очевидно, что если бы трение между тележкой и телом отсутствовало, то тело не опрокинулось бы. В первом случае произошло бы следующее: так как скорость стоящего тела равна нулю, а скорость тележки стала увеличиваться, тележка выскользнула бы из-под неподвижного тела вперед. Во втором случае при торможении тележки стоящее на ней тело сохранило бы свою скорость движения и соскользнуло вперед с остановившейся тележки.

Другой пример. Металлический шарик скатывается по наклонному желобу на горизонтальную плоскость с одной и той же высоты h (рис. 16), следовательно, его скорость в точке, в которой он начинает горизонтальное движение, всегда одинакова. Пусть вначале горизонтальная поверхность посыпана песком. Шарик пройдет небольшое расстояние s₁ и остановится. Заменим песчаную поверхность гладкой доской. Шарик пройдет до остановки уже значительно большее расстояние s₂. Заменим доску льдом. Шарик будет катиться очень долго и пройдет до остановки расстояние s₃ >> s₂. Эта последовательность опытов показывает, что если уменьшать влияние окружающей среды на движущееся тело, его горизонтальное движение относительно Земли неограниченно приближается к равномерному и прямолинейному. (При движении тела по горизонтальной поверхности притяжение этого тела Землей компенсируется упругостью опоры - доски, льда и т. д.)

О том, что телу свойственно сохранять не любое движение, а именно прямолинейное, свидетельствует, например, следующий опыт (рис. 17). Шарик, двигавшийся прямолинейно по плоской горизонтальной поверхности, сталкиваясь с преградой, имеющей криволинейную форму, под действием этой преграды вынужден двигаться по дуге. Однако когда шарик доходит до края преграды, он перестает двигаться криволинейно и вновь начинает двигаться по прямой. Обобщая результаты упомянутых (и аналогичных им) наблюдений, можно сделать вывод, что если на данное тело не действуют другие тела или их действия взаимно компенсируются, это тело покоится или же скорость его движения остается неизменной относительно системы отсчета, неподвижно связанной с поверхностью Земли.

Явление сохранения телом состояния покоя или прямолинейного равномерного движения при отсутствии или компенсации внешних воздействий на это тело называют инерцией.

Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета

К выводу о существовании явления инерции впервые пришел Галилей, а затем Ньютон. Этот вывод формулируется в виде первого закона Ньютона (закона инерции): существуют такие системы отсчета, относительно которых тело (материальная точка) при отсутствии на нею внешних воздействий (или при их взаимной компенсации) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называют инерциальными. Следовательно, инерциальными являются такие системы отсчета, относительно которых материальная точка при отсутствии на нее внешних воздействий или их взаимной компенсации покоится или движется равномерно и прямолинейно.

Наблюдения показывают, что с очень высокой степенью точности можно считать инерциальной системой отсчета гелиоцентрическую систему, у которой начало координат связано с Солнцем, а оси направлены на определенные "неподвижные" звезды. Системы отсчета, жестко связанные с поверхностью Земли, строго говоря, не являются инерциальными, так как Земля движется по орбите вокруг Солнца и при этом вращается вокруг своей оси. Однако при описании движений, не имеющих глобального (т. е. всемирного) масштаба, системы отсчета, связанные с Землей, можно с достаточной точностью считать инерциальными. Инерциальными являются и системы отсчета, которые движутся равномерно и прямолинейно относительно какой-либо инерциальной системы отсчета (см. далее). Галилей установил, что никакими механическими опытами, поставленными внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Это утверждение носит название принципа относительности Галилея или механического принципа относительности. Этот принцип был впоследствии развит А. Эйнштейном и является одним из постулатов специальной теории относительности.

Инерциальные системы отсчета играют в физике исключительно важную роль, так как, согласно принципу относительности Эйнштейна, математическое выражение любою закона физики имеет одинаковый вид в каждой инерциальной системе отсчета.В дальнейшем мы будем пользоваться только инерциальными системами (не упоминая об этом каждый раз).

Системы отсчета, в которых первый закон Ньютона не выполняется, называют неинерциальными. К таким системам относится любая система отсчета, движущаяся с ускорением относительно инерциальной системы отсчета.

Свойство тела сохранять свою скорость неизменной, т. е. сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии внешних воздействий на это тело или их взаимной компенсации, называется его инертностью. Инертность тел приводит к тому, что мгновенно изменить скорость тела невозможно - действие на него другого тела должно длиться определенное время. Чем инертнее тело, тем меньше изменяется его скорость за данное время, т. е. тем меньшее ускорение получает это тело.
Количественную меру инертности тела называют его массой. Чем более инертно тело, тем больше его масса.

Наблюдения показывают, что для любых двух взаимодействующих между собой тел независимо от способа их взаимодействия отношение модулей ускорений, полученных телами в результате этого взаимодействия, всегда получается одинаковым. Следовательно, это отношение зависит от инертных свойств взаимодействующих тел, т. е. от их масс.

Как отмечалось выше, чем больше масса тела, тем меньшее ускорение получает данное тело при взаимодействии тел между собой. Поэтому можно предположить, что отношение модулей ускорений, получаемых телами при взаимодействии между собой, равно величине, обратной отношению масс этих тел, т. е.

a₁/a₂=m₂/m₁.    (2.1)

(В дальнейшем мы увидим, что это предположение справедливо.)
Из (2.1) следует, что m₂=m₁a₁/a₂. Последняя формула дает способ измерения масс тел. Из нее видно, что, для того чтобы суметь определить массу какого-либо тела, прежде всего необходимо выбрать тело, массу которого m_э, следует принять за единицу массы. Такое тело называют эталоном. Тогда масса произвольного тела

m=m_э·а_э/а,    (2.2)

где а_э - ускорение эталона; а - ускорение данного тела. В 1899 г. за единицу массы был принят 1 кг (килограмм). Килограмм - это масса, равная массе международного прототипа килограмма. Эталон, имеющий массу 1 кг (прототип килограмма), представляет собой отлитое из сплава платины и иридия цилиндрическое тело, у которого образующая цилиндра равна его диаметру.

Этот эталон хранится во Франции, в международном бюро мер и весов, а во всех странах, принявших метрическую конвенцию, имеются копии этого эталона, изготовленные с высокой точностью. (В СССР эталон килограмма - платино-иридиевая гиря, имеющая форму прямого цилиндра высотой 39 мм и диаметром 139 мм, хранится в Ленинграде, во Всесоюзном научно-исследовательском институте метрологии им. Д. И. Менделеева.)

При обычных расчетах можно с достаточной точностью считать, что массой 1 кг обладает 1 литр (т. е. 1 дм³) химически чистой воды при 15°С.

Установление единицы массы - килограмма - позволило упорядочить вопрос изготовления гирь, т. е. тел с известной массой, используемых для определения массы других тел. Массу гирь стали устанавливать, сверяя их с массой эталона. Масса любой гири равна либо массе эталона (т. е. 1 кг), либо составляет кратную или дольную величину от массы эталона.

Из формулы (2.2) видно, что, для того чтобы измерить массу какого-либо тела, кроме массы эталона необходимо знать отношение ускорений взаимодействующих тел, т. е. величину а_э/а. Очевидно, для измерения массы тела вовсе не обязательно заставлять это тело двигаться и сталкивать его с эталоном массы, определяя затем ускорения тела и эталона. Существует другой, более удобный способ определения массы - взвешивание тел на рычажных весах.

Пусть два тела лежат на чашках равноплечих весов и каждое из них, притягиваясь к Земле, стремится повернуть коромысло весов вокруг оси вращения. Известно, что ускорение свободного падения тел любой массы одинаково. Поэтому в формуле (2.2) a_э=a=g, т. е. а_э/а=1. Следовательно, если весы находятся в равновесии, масса тела равна массе эталона. В повседневных измерениях вместо эталона массы используют гири. Уравновешивание данного тела на весах гирями позволяет определить массу этого тела.

Для выражения связи массы тела с его объемом введено понятие плотности. Плотностью r вещества называют величину, равную отношению массы тела к его объему, т. е r=m/V.

Масса тела, являющаяся характеристикой его инерционных и гравитационных свойств, представляет собой величину, зависящую только от самого тела и не зависящую от того, в каких именно взаимодействиях с другими телами это тело участвует. Однако масса зависит от скорости движения тела. Эта зависимость обнаруживается только при движениях со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Поэтому в физике различают два качественно различных случая движения.

Движение, происходящее со скоростью v, много меньшей скорости света с в вакууме (v << с, где с=3·10⁸ м/с), называютнерелятивистским. При нерелятивистском движении масса тела практически не зависит от его скорости, т. е. можно считать, что в таком движении m= const.
Движение, происходящее со скоростью, сравнимой со скоростью света в вакууме v»c), называют релятивистским.

Сила. Второй закон Ньютона

Известно, что изменение скорости тела, т. е. появление ускорения, всегда происходит под действием на данное тело окружающих его тел. Для характеристики этих действий введено понятие силы.

Силой называют векторную величину, характеризующую такое действие на данное тело других тел (или полей), которое может вызвать ускорение и деформацию тела (здесь мы имеем в виду произвольное твердое тело, а не материальную точку).

Если на данное тело действует только одна сила, она обязательно вызывает и ускорение и деформацию тела. Если же на тело одновременно действуют несколько сил, то возможен и случай их компенсации (уравновешивания) и тело может не получать ускорения.

Поскольку сила способна вызывать и ускорение и деформацию тел, оба эти действия могут быть использованы для измерения силы и установления единицы ее измерения.

Динамометры и пружинные весы служат для измерения силы по производимой ею деформации. Использовав соотношение, существующее между силой, массой и ускорением, которое было впервые установлено Ньютоном и получило название второго закона Ньютона, можно определить силу по вызываемому ею ускорению. Наблюдения показывают, что если действовать одной и той же силой (например, силой упругости растянутой пружины) на тела различной массы, то модули ускорений, получаемых телами под действием этой силы, окажутся обратно пропорциональными массами этих тел, т. е.

a₁/a₂=m₂/m₁.

(Данная формула совпадает с формулой (2.1), следовательно, сделанное нами тогда предположение полностью подтверждается.)

Из наблюдений следует также, что если на одно и то же тело поочередно действовать различными силами, то модули ускорений, получаемых телом под действием этих сил, окажутся пропорциональными модулям этих сил, т. е.

a₁/a₂=F₁/F₂.

Из последних двух формул видно, что а = F/m, следовательно, F=ma, или в векторной форме

F=ma.     (2.3)

Формула (2.3) выражает второй закон Ньютона, который формулируют так: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этому телу силой.

В виде (2.3) второй закон Ньютона справедлив для нерелятивистского движения материальных точек и нерелятивистского поступательного движения твердых тел. Одновременное действие на тело нескольких сил эквивалентно действию одной силы (равнодействующей), которая равна векторной сумме данных сил:

F=SF_i.

Существует принцип независимости действия сил, согласно которому: если на тело действуют одновременно несколько сил, действие каждой из них можно рассматривать независимо от остальных.

Единица силы

Единицу силы устанавливают из формулы (2.3). За единицу силы в СИ принята такая сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с². Эту единицу силы обозначают 1 Н и называют ньютоном:

1Н=1кг·1м/с²=1кг·м·с^-2.

 Третий закон Ньютона

Во всех случаях, когда какое-либо тело действует на другое, имеет место не одностороннее действие, а взаимодействие тел. Силы такого взаимодействия между телами имеют одинаковую природу, появляются и исчезают одновременно. При взаимодействии двух тел оба тела получают ускорения, направленные по одной прямой в противоположные стороны. Так как a₁/a₂=m₂/m₁, то m₁a₁=m₂a₂, или в векторном виде

m₁а₁=-m₂a₂.    (2.7)

Согласно второму закону Ньютона, m₁а₁=F₁ и m₂а₂=F₂. Тогда из формулы (2.7) следует, что

F₁=-F₂.     (2.8)

Равенство (2.8) выражает третий закон Ньютона: тела взаимодействуют друг с другом силами, равными по модулю и противоположными по направлению.


Каждая из сил взаимодействия приложена к тому телу, на которое она действует, т. е. эти силы приложены к разным телам. Следовательно, силы взаимодействия между телами не могут уравновесить (скомпенсировать) друг друга.

Приведем примеры, иллюстрирующие третий закон Ньютона. Возьмем в руки два одинаковых динамометра, сцепим их крюками и будем тянуть в разные стороны (рис. 18). Оба динамометра покажут одинаковые по модулю силы натяжения, т. е. F1=-F2.

Поставим на горизонтальную поверхность две одинаковые тележки и с помощью двух одинаковых динамометров прикрепим их к вертикальным стойкам. На одну тележку положим кусок железа, а на другую - магнит (рис. 19). Мы увидим, что обе тележки сдвинутся навстречу друг другу и оба динамометра покажут одинаковые силы взаимодействия, т. е. F₁=-F₂. Следовательно, с какой силой магнит притягивает кусок железа, с такой же силой и железо притягивает к себе магнит.

Приведенные примеры показывают, что третий закон Ньютона выполняется как в случае взаимодействия тел при непосредственном контакте, так и при взаимодействии посредством поля. Третий закон Ньютона, так же как и первый и второй законы динамики, выполняется только в инерциальных системах отсчета.